Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Método de GAUSS

22 01 2013

Suponiendo que tenemos que resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, aplicaremos el método de Gauss que pretende ir reduciendo cada una de las ecuaciones en un término menos que la anterior.

Veamos un ejemplo:

1ª) x+2y-3z=-16               

2ª) 3x+y-2z=-10

3ª) 2x-3y+z=-4

Partiendo de este sistema intentaremos conseguir algo como esto:

x+2y-3z=-16               

0+?y-?z=?

0-0+?z=?

Bien pues para ello iremos aplicando el método de reducción para ecuaciones. Primero suprimiremso la x de la segunda ecuación reduciéndola con la primera. Para ello multiplicaremos la primera ecuación por (-3)  y después sumamos las 2 para conseguir la segunda ecuación transformada, así:

[1ª * (-3)] + 2ª  à -3x-6y+9z=48  +  3x+y-2z=-10  à  0x-5y+7z=38

Ahora haremos el mismo paso para eliminar la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera así:

[1ª * (-2)] + 3ª  à  -2x-4y+6z=32  +  2x-3y+z=-4  à  0x-7y+7z=28

Escribimos el sistema obtenido de tal forma que nos quedará así:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-7y+7z=28

Ahora tendremos que eliminar la y de la tercera ecuación reduciéndola con la 2ª. Para ello multiplicaremos la 2ª por (7) y la 3ª por (-5) así:

[2ª* (7)] + [3ª*(-5)]  à  -35y+49z=266  +  35y-35z=-140  à  14z=26  à  z=9

Por último  montamos el sistema reducido y quedara de esta forma:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-0y+14z=26 

Y resolvemos:

 -calculamos z en la 3ª ecuación                                            14z=26  à  z=9

 -sustituimos z en la 2ª ecuación y calculamos la y       -5y+7(9)=38  à  y=5

 -sustituimos z e y en la 1ª para hallar x                              x+2(5)-3(9)=-16  à  x=1

Por último sustituimos los valores en la ecuaciones iniciales, vemos si se cumplen y en caso afirmativo hemos terminado!!!





Método de SUSTITUCIÓN

22 01 2013

Este método es uno de los más utilizados a la hora de resolver 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas ya que es bastante simple; consiste en despejar una incognita de una de las dos ecuaciones y sustituir su valor en la otra. Veamos:

6x-8y=-12  //  x+2y=8

lo primero es decidir que incognita y en que ecuación vamos a despejar. En este caso está bastante claro que será la x de la segunda ecucacion porque el coeficiente es 1:

x=8-2y

Este valor de x lo sustituimos en la otra ecuación y resolvemos de esta manera:

6(8-2y)-8y=-12  –> 48-12y-8y=-12  –>  48-20y=-12  –> 48+12 = 20y  –>  60=20y  –>   y=60/20  –>  y=3

Tras esto solo nos falta coger el dato de y que acabamos de calcular y sustituirlo en cualcquiera de las 2 ecuaciones iniciales:

x+2(3)=8  –>  x+6=8  –>  x=8-6  –>  x=2

Y ya tenemos el valor de las 2 incognitas!!!





Método de REDUCCIÓN

22 01 2013

Este método es el menos usado pero no por ello menos efectivo de los 3 que existen para resolver 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas, aunque es muy efectivo para resolver 3 ecuaciones con 3 incognitas por ejemplo.

Lo priemro que tendremos que hacer en este caso es preparar las ecuaciones multiplicando una de ellas, o las dos, por el valor que mejor nos convenga y que posteriormente nos permitira reducirlas. Es decir, si tenemos por ejemplo:

2x+3y=5  //   4x-y=5

tenemos que buscar que en ambas ecuaciones alguno de los terminos que acompañan a las incognitas sean iguales para asi poder reducirlos, por ejemplo en este caso multiplicaremos la primera ecuacion por el numero 2 y nos dará:

2* (2x+3y=5)  –> 4x+6y=10

Ahora ya tenemos el mismo coeficiente de x tanto en la primera ecuación como en la segunda, procedamos pues a reducirlas. Para ello tenemos que restar ambas ecuaciones termino por termino de esta forma:

   4x+6y=10 – 4x-y=5   –>  0x+5y=5

Y una vez que se nos ha anulado un coeficiente de incognita, en nuestro caso la x, resolvemos la otra incognita:

5y=7  –>  y=5/5  –>  y=1

Ahora vamos con este valor a una de las ecuaciones iniciales y sutituimos:

2x+3y=6  –>  2x+3(1)=6  –>  2x+3=6  –>  2x=3  –>  x=3/2

Y ya tenemos los dos valores, tanto x como y!!!!





Método de IGUALACIÓN

22 01 2013

Para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas por el metodo de igualación lo primero que debemos hacer es elegir una de las dos incognitas y despejarla en ambas ecuaciones. Así:

Suponiendo que estas sean nuestras ecuaciones   3x-2y=8   //   -4x+6y=12   despejamos la x en ambas y nos quedará esto:

x=(8+2y)/3          x=(12-6y)/-4

Una vez hecho esto, se igualan las expresiones que han quedado sin una de las incognitas, en este caso sin la x, así:

(8+2y)/3 = (12-6y)/-4

y procedemos a resover la ecuacion con 1 incognita, en nuestro caso Y:

-4*(8+2y)=3*(12-6y)   –>   -32-8y=36-12y   –>   -8y+12y=36+32   –>   4y=68  –>  y= 68/4   –>  y=17

Cuando hayamos resuelto una de las incognitas, solamente habra que llevar ese dato a una ecuacion cualquiera del principio y sustituir el valor que hayamos obtenido, así:

x=(8+2y)/3   –>  SUSTITUIMOS y=17   –> x=(8+2*17)/3   –> x=(8+34)/3   –> x=14

Y ya está!!!!





Sistemas de ecuaciones (Teoría)

10 01 2011
Para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado disponemos de los siguientes tres métodos:
  • Método de igualación:
    • Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
    • Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
    • Se resuelve la ecuación.
    • El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
    • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
  • Método de sustitución:
    • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
    • Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
    • Se resuelve la ecuación.
    • El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
    • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
  • Método de reducción
    • Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
    • La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
    • Se resuelve la ecuación resultante.
    • El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
    • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.




archivos sin licencia

2 11 2010

En esta entrada vamos a utilizar una foto sin licencia( http://www.flickr.com/photos/aldoaldoz/4123934793/) en la que se puede ver como esta representado un triangulo rectangulo con sus senos y cosenos.

A esta foto le añadiremos un audio explicativo de cada parte del triangulo asi como una explicacion de los pasos a realizar para calcular su seno, coseno y tangente. Para ello nos valdremos de la plataforma interactiva que disponga el centro escolar en la que se colgaran este y otros muchos ejemplos de trigonometria y geometria cada uno de ellos con su audio explicativo y así los alumnos podrán consultar desde sus casas la información que necesiten.





Problema de Fermi

20 10 2010

¿Cuantos balones de futbol caben en el cesped de san mames? ¿ Se podria regalar uno a cada aficionado?

Dato: capacidad de san mames = 40000 espectadores

Viendo esta pregunta, que no tiene mucho sentido en un principio, los alumnos en una clase de matematicas deberán conocer el área de un cuadrado para saber cuanto espacio ocupa el cesped de san mames.

También tendrán que conocer el concepto del volumen de una pelota y el área que abarca cada una de ellas.

Por ultimo por medio de operaciones como la multiplicación, división e incluso las reglas de 3, tendran que realizar los calculos correspondientes para poder dar un numero aproximado de pelotas podrian entrar en el cesped.