Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Método de GAUSS

22 01 2013

Suponiendo que tenemos que resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, aplicaremos el método de Gauss que pretende ir reduciendo cada una de las ecuaciones en un término menos que la anterior.

Veamos un ejemplo:

1ª) x+2y-3z=-16               

2ª) 3x+y-2z=-10

3ª) 2x-3y+z=-4

Partiendo de este sistema intentaremos conseguir algo como esto:

x+2y-3z=-16               

0+?y-?z=?

0-0+?z=?

Bien pues para ello iremos aplicando el método de reducción para ecuaciones. Primero suprimiremso la x de la segunda ecuación reduciéndola con la primera. Para ello multiplicaremos la primera ecuación por (-3)  y después sumamos las 2 para conseguir la segunda ecuación transformada, así:

[1ª * (-3)] + 2ª  à -3x-6y+9z=48  +  3x+y-2z=-10  à  0x-5y+7z=38

Ahora haremos el mismo paso para eliminar la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera así:

[1ª * (-2)] + 3ª  à  -2x-4y+6z=32  +  2x-3y+z=-4  à  0x-7y+7z=28

Escribimos el sistema obtenido de tal forma que nos quedará así:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-7y+7z=28

Ahora tendremos que eliminar la y de la tercera ecuación reduciéndola con la 2ª. Para ello multiplicaremos la 2ª por (7) y la 3ª por (-5) así:

[2ª* (7)] + [3ª*(-5)]  à  -35y+49z=266  +  35y-35z=-140  à  14z=26  à  z=9

Por último  montamos el sistema reducido y quedara de esta forma:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-0y+14z=26 

Y resolvemos:

 -calculamos z en la 3ª ecuación                                            14z=26  à  z=9

 -sustituimos z en la 2ª ecuación y calculamos la y       -5y+7(9)=38  à  y=5

 -sustituimos z e y en la 1ª para hallar x                              x+2(5)-3(9)=-16  à  x=1

Por último sustituimos los valores en la ecuaciones iniciales, vemos si se cumplen y en caso afirmativo hemos terminado!!!

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