Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Método de GAUSS

Suponiendo que tenemos que resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, aplicaremos el método de Gauss que pretende ir reduciendo cada una de las ecuaciones en un término menos que la anterior.

Veamos un ejemplo:

1ª) x+2y-3z=-16               

2ª) 3x+y-2z=-10

3ª) 2x-3y+z=-4

Partiendo de este sistema intentaremos conseguir algo como esto:

x+2y-3z=-16               

0+?y-?z=?

0-0+?z=?

Bien pues para ello iremos aplicando el método de reducción para ecuaciones. Primero suprimiremso la x de la segunda ecuación reduciéndola con la primera. Para ello multiplicaremos la primera ecuación por (-3)  y después sumamos las 2 para conseguir la segunda ecuación transformada, así:

[1ª * (-3)] + 2ª  à -3x-6y+9z=48  +  3x+y-2z=-10  à  0x-5y+7z=38

Ahora haremos el mismo paso para eliminar la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera así:

[1ª * (-2)] + 3ª  à  -2x-4y+6z=32  +  2x-3y+z=-4  à  0x-7y+7z=28

Escribimos el sistema obtenido de tal forma que nos quedará así:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-7y+7z=28

Ahora tendremos que eliminar la y de la tercera ecuación reduciéndola con la 2ª. Para ello multiplicaremos la 2ª por (7) y la 3ª por (-5) así:

[2ª* (7)] + [3ª*(-5)]  à  -35y+49z=266  +  35y-35z=-140  à  14z=26  à  z=9

Por último  montamos el sistema reducido y quedara de esta forma:

1ª) x+2y-3z=-16  

2ª) 0x-5y+7z=38  

3ª) 0x-0y+14z=26 

Y resolvemos:

 -calculamos z en la 3ª ecuación                                            14z=26  à  z=9

 -sustituimos z en la 2ª ecuación y calculamos la y       -5y+7(9)=38  à  y=5

 -sustituimos z e y en la 1ª para hallar x                              x+2(5)-3(9)=-16  à  x=1

Por último sustituimos los valores en la ecuaciones iniciales, vemos si se cumplen y en caso afirmativo hemos terminado!!!

Método de SUSTITUCIÓN

Este método es uno de los más utilizados a la hora de resolver 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas ya que es bastante simple; consiste en despejar una incognita de una de las dos ecuaciones y sustituir su valor en la otra. Veamos:

6x-8y=-12  //  x+2y=8

lo primero es decidir que incognita y en que ecuación vamos a despejar. En este caso está bastante claro que será la x de la segunda ecucacion porque el coeficiente es 1:

x=8-2y

Este valor de x lo sustituimos en la otra ecuación y resolvemos de esta manera:

6(8-2y)-8y=-12  –> 48-12y-8y=-12  –>  48-20y=-12  –> 48+12 = 20y  –>  60=20y  –>   y=60/20  –>  y=3

Tras esto solo nos falta coger el dato de y que acabamos de calcular y sustituirlo en cualcquiera de las 2 ecuaciones iniciales:

x+2(3)=8  –>  x+6=8  –>  x=8-6  –>  x=2

Y ya tenemos el valor de las 2 incognitas!!!

Método de REDUCCIÓN

Este método es el menos usado pero no por ello menos efectivo de los 3 que existen para resolver 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas, aunque es muy efectivo para resolver 3 ecuaciones con 3 incognitas por ejemplo.

Lo priemro que tendremos que hacer en este caso es preparar las ecuaciones multiplicando una de ellas, o las dos, por el valor que mejor nos convenga y que posteriormente nos permitira reducirlas. Es decir, si tenemos por ejemplo:

2x+3y=5  //   4x-y=5

tenemos que buscar que en ambas ecuaciones alguno de los terminos que acompañan a las incognitas sean iguales para asi poder reducirlos, por ejemplo en este caso multiplicaremos la primera ecuacion por el numero 2 y nos dará:

2* (2x+3y=5)  –> 4x+6y=10

Ahora ya tenemos el mismo coeficiente de x tanto en la primera ecuación como en la segunda, procedamos pues a reducirlas. Para ello tenemos que restar ambas ecuaciones termino por termino de esta forma:

   4x+6y=10 – 4x-y=5   –>  0x+5y=5

Y una vez que se nos ha anulado un coeficiente de incognita, en nuestro caso la x, resolvemos la otra incognita:

5y=7  –>  y=5/5  –>  y=1

Ahora vamos con este valor a una de las ecuaciones iniciales y sutituimos:

2x+3y=6  –>  2x+3(1)=6  –>  2x+3=6  –>  2x=3  –>  x=3/2

Y ya tenemos los dos valores, tanto x como y!!!!

Método de IGUALACIÓN

Para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incognitas por el metodo de igualación lo primero que debemos hacer es elegir una de las dos incognitas y despejarla en ambas ecuaciones. Así:

Suponiendo que estas sean nuestras ecuaciones   3x-2y=8   //   -4x+6y=12   despejamos la x en ambas y nos quedará esto:

x=(8+2y)/3          x=(12-6y)/-4

Una vez hecho esto, se igualan las expresiones que han quedado sin una de las incognitas, en este caso sin la x, así:

(8+2y)/3 = (12-6y)/-4

y procedemos a resover la ecuacion con 1 incognita, en nuestro caso Y:

-4*(8+2y)=3*(12-6y)   –>   -32-8y=36-12y   –>   -8y+12y=36+32   –>   4y=68  –>  y= 68/4   –>  y=17

Cuando hayamos resuelto una de las incognitas, solamente habra que llevar ese dato a una ecuacion cualquiera del principio y sustituir el valor que hayamos obtenido, así:

x=(8+2y)/3   –>  SUSTITUIMOS y=17   –> x=(8+2*17)/3   –> x=(8+34)/3   –> x=14

Y ya está!!!!

Sistemas de ecuaciones (Teoría)

Para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado disponemos de los siguientes tres métodos:

• Método de igualación:
  • Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  • Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
  • Se resuelve la ecuación.
  • El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

• Método de sustitución:
  • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
  • Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
  • Se resuelve la ecuación.
  • El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

• Método de reducción
  • Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
  • La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
  • Se resuelve la ecuación resultante.
  • El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.